Exposición de arte matemático

Por fin conseguí mandar a imprimir mis obras de arte matemático generado por computadora.
Ya conseguí también que me permitan exponerlas en los espacios del CineTeatro y la Pinacoteca de la Universidad. Pero me temo que la agenda de estos espacios ya está llena hasta fin de año, así que se programará mi exposición para el mes de abril del próximo año, aproximadamente del 4 al 25 de abril de 2016.
  

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Torbellinos de pasión

(es) Torbellinos de pasión

(eo) Pasiokirloj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Dos torbellinos entrelazados girando en la misma dirección.

Motivación:

Una lectura parcial del libro Indra's Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y la búsqueda de comprender las espirales loxodrómicas y los loxódromos en sí (ver Líneas de rumbo).

Descripción técnica:

La imagen es una serie de proyecciones de líneas de rumbo (loxódromos) que se construyen en la esfera de Riemann girada sobre su centro, sobre el plano, por medio de una proyección estereográfica.

El proceso de construcción es el siguiente:

Las líneas de rumbo se inician como espirales exponenciales complejas, de la forma: $T_n\left(z\right)=a^{n}z$, donde $n\in Z$ y $a,z\in C$. Para que las espirales formen una familia como en la imagen, deben tener el mismo valor de $a$. En este caso $a={\displaystyle \frac{4}{5}\left(cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2}\right)}$.

Para que estas espirales se conviertan en dobles espirales, se les aplica la siguiente transformación de Möbius

${\hat{T}}_n\left(z\right)=R\circ T_n\circ R^{-1}\left(z\right)$, con $R\left(z\right)=\frac{z-1}{z+1}$

a los números complejos $z$ de la forma $cos\alpha +isin\alpha$, con $\alpha \in \left[\frac{\pi }{4}-0.3,\frac{\pi }{4}+0.3\right]$, y $n\in \{-20,-19,-18,\dots ,29,30\}$.

Nótese que $R\left(0\right)=-1$, $R\left(\infty \right)=1$. Es decir, lo que hace $R$ es tomar un punto del plano complejo, lo proyecta en la esfera de Riemann, luego rota la esfera respecto de su centro (con eje de giro paralelo al eje complejo) y finalmente lo proyecta sobre el plano compleo de nuevo.

Para los colores, se utilizó una técnica de interpolación lineal segmentada pasando por los colores primarios sustractivos (amarillo, cyan y magenta) asociándolos al paso de $\alpha$.

Archivos

Planeta fractal

(es) Planeta fractal

(eo) Fraktalplanedo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un mundo fractal.

Motivación:

Una revisión de las diferentes variantes conocidas de fractales de la familia Mándelbrot.

Descripción técnica:

Una vista de alta resolución de un conjunto fractal similar al de Mándelbrot, pero con ecuación recursiva $z_{n+1}=exp\left(\frac{z_n^2-1,00001z_n}{c^3}\right)$.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

Archivos

El jardinero de Neruda

(es) El jardinero de Neruda

(eo) La ĝardenisto de NERUDA

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un jardín de plantas fractales rodeando un gran árbol cuadrado que representa una Ceiba.

Motivación:

El recuerdo de un capítulo nunca hecho del libro de Graficación por Computadora del autor... Sería un capítulo sobre fractales biológicos.

Descripción técnica:

Se han utilizado cuatro algoritmos recursivos determinísticos que dibujan “ramas que tienen ramas”. Uno de los algoritmos divide sus ramas en dos ramas, otro divide sus ramas en tres ramas, otro en cuatro y el último en cinco.

Cada árbol depende además de una posición, ángulos de las ramas divididas, tamaño, proporciones entre las ramas y sus ramas hijas, la cantidad de subdivisiones (niveles), posiciones relativas de los brotes de las ramas hijas y el color.

Archivos

Anillo de Fuego

(es) Anillo de fuego

(eo) Fajroringo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un anillo de fuego que emana calor.

Motivación:

Una lectura parcial del libro Indra's Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y curiosidad sobre las transformaciones de Möbius.

Descripción técnica:

La imagen es una coloración particular de la traza del grupo $\theta$-Schottky con $\theta =\frac{\pi }{4}$ enfatizando su conjunto límite en amarillo intenso.

Los cuatro círculos grandes son los círculos generadores (discos de Schottky). Luego se dibujan las imágenes de cada tres de ellos al interior del cuarto (dadas unas transformaciones de Möbius). Este proceso se repite una y otra vez hasta el infinito. Todos estos círculos se conocen como el grupo de Schottky. Al conjunto de puntos resultantes del proceso (una especie de polvo) se le conoce como El Conjunto Límite del grupo. El conjunto límite del grupo dibujado es exactamente una circunferencia.

El intervalo dibujado es $\left[-1.3,-1.3\right]\times \left[1.3,1.3\right]$.

Archivos

Las cuatro nobles verdades

(es) Las cuatro nobles verdades

(eo) La kvar noblaj veraĵoj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una vista de Buda sentado en posición de loto.

Motivación:

Un documental sobre las maravillas del mundo budista.

Las cuatro nobles verdades son:

1. Toda existencia es sufrimiento: Nacer es sufrir, enfermar es sufrir, envejecer es sufrir, morir es sufrir, amar es sufrir, perder al ser amado es sufrir, etc. Todo conlleva sufrimiento, la existencia y sus partes son sufrimiento.
2. La causa del sufrimiento es el apego, el deseo.
3. El apego y el deseo pueden suprimirse extinguiendo su causa.
4. El apego y el deseo pueden extinguirse por medio del noble camino óctuple:
   1. Comprensión correcta
   2. Pensamiento correcto
   3. Palabra correcta
   4. Acción correcta
   5. Ocupación correcta
   6. Esfuerzo correcto
   7. Atención correcta
   8. Concentración correcta

Descripción técnica:

Una vista de alta resolución de un conjunto basado en el de Mándelbrot, conocido como Búdabrot, dibujado con la traza de los puntos de las sucesiones requeridas para determinar la pertenencia de puntos aleatorios $c$ en el conjunto de Mándelbrot. Es decir, se toman puntos complejos $c$ aleatorios. Luego se determina su pertenencia al conjunto de Mándelbrot de la manera estándar:

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La imagen está dividida en cuatro partes. Las de los “cuadrantes” I y III fue construida haciendo $N=200$ iterando $1,54\times 10^{10}$ puntos aleatorios $c$ del plano complejo. Las de los “cuadrantes” II y IV fue construida haciendo $N=2000$ iterando $3,1\times 10^9$ puntos aleatorios $c$ del plano complejo. En todos los casos $c\in \left[-1.5,0.5\right]\times \left[-1i,1i\right]$.

Archivos

San Romero estudiante

(es) San Romero estudiante

(eo) Sankta Romero studento

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una fotografía de Óscar Arnulfo Romero y Galdámez en su época de estudiante/seminarista.

Motivación:

La noticia de confirmación de canonización de San Romero de América.

Descripción técnica:

Una fotografía de Óscar Arnulfo Romero y Galdámez que en lugar de estar formada por pixeles (cuadrados) está formada por una teselación rombitrihexagonal.

Archivos

Miel hiperbólica

(es) Miel hiperbólica

(eo) Hiperbola mielo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

 Descripción artística:

Un acercamiento de un panal de miel.

Motivación:

Lectura de un artículo sobre geometría hiperbólica y otra lectura sobre teselaciones.

Descripción técnica:

Una teselación hexagonal de fondo y en frente una teselación hexagonal en geometría hiperbólica proyectada sobre el disco de Poincaré.

Archivos

Las mariposas de El Mozote

(es) Las mariposas de El Mozote

(eo) Papilioj de El Mozote

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Las mariposas del perdón revoloteando en el cielo azul con nubes blancas.

Motivación:

Un capítulo de la amarga historia de nuestro querido El Salvador.

Descripción técnica:

Se han dibujado una serie de mariposas –con la ecuación polar $m\left(\theta \right)=e^{cos\theta }-2cos\left(4\theta \right)+{\left(sin\frac{\theta }{12}\right)}^5$, con $0\le \theta \le 10\pi$– sobre una nube generada por un algoritmo recursivo probabilístico.

Archivos

Homenaje al Doctor Alberto Sánchez

(es) Homenaje al Doctor Alberto Sánchez

(eo) Omaĝo al Doktoro Alberto Sánchez

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Homenaje al Doctor Alberto Sánchez, salvadoreño, quien descubrió el trazo de la curva Cornoide en 1895.

Motivación:

El trabajo de un salvadoreño que aportó la identificación de una curva de construcción relativamente simple que todos los grandes matemáticos de la historia pasaron por alto. La Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad de El Salvador, lleva su nombre en su honor.

Descripción técnica:

Una vieja fotografía del Doctor Alberto Sánchez en la que cada pixel fue cambiado por una pequeña curva Cornoide con más o menos pasos intermedios con colores rojo, azul y verde para provocar los puntos correspondientes en una escala mayor.

Archivos

Construcción de la Cornoide

(es) Construcción de la Cornoide

(eo) Konstruado de Kornokurbo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Instrucciones visuales para el trazo de la curva Cornoide, descubierta por el Doctor Alberto Sánchez, salvadoreño, en 1895.

La secuencia está en espiral: Comenzando en la esquina superior izquierda, luego a la derecha hasta la esquina superior derecha, luego hacia abajo hasta la esquina inferior derecha, luego a la izquierda y así sucesivamente.

Motivación:

Las instrucciones simples pero poco conocidas para la construcción de la Cornoide.

Descripción técnica:

El trazo de la curva Cornoide, en 16 pasos en espiral de afuera hacia adentro.

El procedimiento geométrico para construirla es el siguiente:

Sea $C$ un punto de la circunferencia de diámetro director $AB$ y sea $C\text{'}$ el punto de intersección de la circunferencia con la paralela por el punto $C$ al diámetro $AB$. Desde $C$ se traza la recta tangente a la circunferencia y desde $C\text{'}$ la recta perpendicular a la recta tangente. Sea $D$ el punto intersección de ambas rectas. Cuando el punto $C$ describe la circunferencia, el punto $D$ describe la Cornoide.

Archivos

Cornoide

(es) Coronoide

(eo) Kornokurbo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

El trazo de la curva Cornoide, descubierta por el Doctor Alberto Sánchez, salvadoreño, en 1895.

Motivación:

El trabajo de un salvadoreño que aportó la identificación de una curva de construcción relativamente simple que todos los grandes matemáticos de la historia pasaron por alto. La Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad de El Salvador, lleva su nombre en su honor.

Descripción técnica:

El trazo de la curva Cornoide, con ecuación paramétrica:

$\{\begin{array}{cc}x\left(t\right)=R\cdot cost\cdot cos2t& \\ y\left(t\right)=R\cdot sint\cdot \left(2+cos2t\right)& \end{array}$

El procedimiento geométrico para construirla es el siguiente:

Sea $C$ un punto de la circunferencia de diámetro director $AB$ y sea $C\text{'}$ el punto de intersección de la circunferencia con la paralela por el punto $C$ al diámetro $AB$. Desde $C$ se traza la recta tangente a la circunferencia y desde $C\text{'}$ la recta perpendicular a la recta tangente. Sea $D$ el punto intersección de ambas rectas. Cuando el punto $C$ describe la circunferencia, el punto $D$ describe la Cornoide.
Archivos

El desfile de los primos

(es) El desfile de los primos

(eo) Primoparado

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Los números primos desfilando al rededor del número uno.

Motivación:

Una lectura sobre la Esprial de Ullam y sus curiosidades.

Descripción técnica:

Es una espiral cuadrada de cien vueltas con los números primos resaltados. El numero uno se ha marcado con rojo.

Esta construcción se conoce como la Espiral de Ullam.

Archivos

Delirio

(es) Delirio

(eo) Deliro

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una espiral formada por la cinta enrrollada de una Máquina de Turing binaria. En el centro de la imagen está el motor de la máquina.

Motivación:

Los recuerdos del curso de Teoría Matemática de la Computación.

Descripción técnica:

Dos espirales exponenciales entrelazadas con ecuaciones $r=\pm {\left(\frac{11}{10}\right)}^{\theta }$, con $0\le \theta \le 20\pi$. Cada celda contiene un bit y tiene igual probabilidad de ser uno o cero.

Archivos

La batalla de Esmolensco

(es) La batalla de Esmolensco

(eo) La batalo de Smolensko

(be) Смаленская бітва

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un baño de sangre sobre el suelo helado de Esmolensko (Смаленск).

Motivación:

Una serie de documentales sobre la Segunda Guerra Mundial, particularmente sobre la Operación Barbarroja y cómo se desarrollaron los hechos del avance alemán en suelo soviético en el período de 1941-1943.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla $c=0.39-0.252857i$ en el intervalo de los reales: [-0.21,0.63] y en los imaginarios: [-0.865714,-0.025714].

El conjunto de Julia con semilla $c$ es el conjunto $J_c$ de todos los puntos $z$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=z$) diverge (o más pragmáticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloración de esta obra son puntos de tono rojo y brillo máximo con saturación más baja para los puntos mientras más rápido se determine que no pertenecen al conjunto, y más alta mientras más se tarde en determinar la no pertenencia. Los puntos que sí pertenecen al conjunto se pintan como rojo intenso.

Archivos

Sexo oral

(es) Sexo oral

(eo) Buŝa seksumado

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una vista de cunnilingus.

Motivación:

Ver el nombre.

Descripción técnica:

Una serie segmentos de rectas tangentes a la elipse $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ que pasan por la circunferencia $x^2+y^2=49$, más el dibujo de la elipse.

Archivos

El baile de los primos

(es) El baile de los primos

(eo) Primobalo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Los números primos danzando junto con los números compuestos al rededor del número uno.

Motivación:

Una lectura sobre la Esprial de Sacks y sus curiosidades.

Descripción técnica:

Es una espiral polar de la forma $\left(r\left(\rho \right),\theta \left(\rho \right)\right)$, con $\theta =\sqrt{\rho }$, y $r=\sqrt{\rho }$, con $1\le \rho \le 10000$, $\rho \in N$ y $\theta$ medido en revoluciones. Para cada $\rho$ se dibujó un círculo de color negro si es primo y griz si es compuesto.

Esta construcción se conoce como la Espiral de Sacks.

Alineaciones libres de números primos:

• Semirrecta horizontal derecha: cuadrados perfectos.
• Línea inmediatamente inferior a la anterior: números de la forma $n^2-1$, divisibles siempre por $n+1$ y $n-1$.
• Semirrecta horizontal izquierda: números de la forma $n^2+n$, divisibles siempre por $n$ y $n+1$.

Curvas aparentemente densas en números primos:

• Una espiral que, en la ilustración, termina cerca de la parte inferior del disco: números de la forma $n^2+n+41$, el polinomio descubierto por Euler.
• Otra espiral situada varios lugares por encima de la anterior: números de la forma $n^2+n+17$.
• Línea inmediatamente superior a la semirrecta horizontal izquierda: números de la forma $n^2+n-1$.

Archivos

Proyección ortogonal del cubo RGB

(es) Proyección ortogonal del cubo RGB

(eo) Orta projekcio de la kubo RGB

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un cubo hecho de cubitos de los colores brillantes del arcoiris.

Motivación:

Fue una de las primeras ideas de experimento del autor aprendiendo el lenguaje CFDG aunque su concreción requirió más madurez y más experiencia en el lenguaje.

Descripción técnica:

Es la vista clara del cubo de color RGB, proyectado ortogonalmente.

El modelo de color RGB (Red-Green-Blue) es el modelo de colores aditivos más usado y usado en las pantallas emisoras de luz (monitores de computadora, televisores, teléfonos, etc.).

En este modelo los colores están determinados por su combinación de luz roja, luz verde y luz azul. La combinación máxima de los tres tipos de luz produce el color blanco. La ausencia de los tres tipos de luz produce el color negro.

Archivos

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#Para generar la imagen:
#$ cfdg -b 0 -s 8000 rgb.cfdg rgb.png

#Número de hexágonos de radio
RADIO = 64 #16

startshape cubo

PORCENTAJE_ESPACIO = 1.1
const1_r3 = (1/sqrt(3))
MEDIOANCHO = (sqrt(3)/2)*PORCENTAJE_ESPACIO
MEDIOALTO = 0.5*PORCENTAJE_ESPACIO
SATMIN = 0.01

shape prueba{
 hexagono1[]
 hexagono2[]
 hexagono3[]
}

shape cubo {
 loop bloque = 3 [r 120]{
  loop anillo = RADIO []{
   loop i = (anillo+1) []{
    loop j = (anillo+1) []{
     px = (i*MEDIOANCHO-j*MEDIOANCHO)
     py = (MEDIOALTO*(i+j))
     hexagono1[x px y py b 1
     sat ((1-SATMIN)*max(i,j)/(RADIO-1)+SATMIN)
     h (atan2(py,px)-30+bloque*120) ]
    }
   }
  }
 }
}

shape dosTriangulos {
  loop i = 2 [r 60]{
   TRIANGLE[y const1_r3 r 180]
  }
}

shape hexagono1 {
 dosTriangulos[r -30]
}

shape hexagono2 {
 dosTriangulos[r 90]
}

shape hexagono3 {
 dosTriangulos[r 210]
}

Ragnarök

(sv) Ragnarök

(es) El ocaso de los dioses

(eo) Ekfiniĝo de la dioj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un escenario áspero, afilado y nórdico que ilustra el cataclismo del Ragnarök, que es el apocalipsis vikingo.

Motivación:

La historia del violento apocalipsis vikingo.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla $c=-1.4+0.0i$ en el intervalo de los reales: [-0.6,0.6] y en los imaginarios: [-0.6,0.6].

El conjunto de Julia con semilla $c$ es el conjunto $J_c$ de todos los puntos $z$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=z$) diverge (o más pragmáticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloración de esta obra tiene un brillo blanco variable más alto mientras más rápido se determina que los puntos no pertenecen al conjunto. Los puntos que sí pertenecen al conjunto son negros.

Archivos

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#Para generar la imagen:
#$ cfdg -b 0 -s 1000 ragnarok.cfdg ragnarok.png

#Posibilidades de ragnarok
#-1.384286,0.004286
#-1.3, 0.00525
#-1.3,0.0
#-1.5, 0.0

startshape rag(-1.4, 0.0)

LIMITE = 1000 #Resolución de la imagen
MAXPASOS = 100

LIMIZQ = -0.6
LIMDER = 0.6
LIMARRIBA = 0.6
LIMABAJO = -0.6

TAMX = (LIMDER-LIMIZQ)/(LIMITE-1)
TAMY = (LIMARRIBA-LIMABAJO)/(LIMITE-1)


pasos(numPasos,z_r,z_i,c_r,c_i) = 
 if((numPasos < MAXPASOS) && (z_r*z_r+z_i*z_i<4),
  pasos(numPasos+1, z_r*z_r - z_i*z_i + c_r, 2*z_r*z_i + c_i, c_r, c_i),
  numPasos)


shape rag(c_r,c_i) {
 loop i = LIMITE/2 []  {
  z_i = (LIMARRIBA-LIMABAJO)*i/(LIMITE-1) + LIMABAJO #y
  loop j = LIMITE/2 [] {
   z_r = (LIMDER-LIMIZQ)*j/(LIMITE-1) + LIMIZQ #x
   
   numPasos = pasos(0, z_r, z_i, c_r, c_i)
   brillo = (1+(1-numPasos)/(MAXPASOS-1))
   SQUARE[x z_r    y z_i    size TAMX TAMY b brillo]
   SQUARE[x (-z_r) y z_i    size TAMX TAMY b brillo]
   SQUARE[x z_r    y (-z_i) size TAMX TAMY b brillo]
   SQUARE[x (-z_r) y (-z_i) size TAMX TAMY b brillo]
  }
 }
}

Psicodelia

(es) Psicodelia

(eo) Psikedelo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un horizonte de colores psicodélicos, con colores predominantemente cálidos en el “cielo” y predominantemente fríos en la “tierra”.

Motivación:

La cultura Hippie de los años 60's que influyó enormemente en el desarrollo de la tecnología de finales del siglo 20.

Descripción técnica:

Una vista girada del conjunto de Mándelbrot en el que los puntos que no pertenecen al conjunto se dibujan como capas de colores variables en función del número máximo de iteraciones para determinar la no pertenencia y el valor del complejo final de la sucesión.

Mientras que para los puntos que sí pertenecen se dejaron los puntos negros.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

Archivos

El gemido del bosque de Pripiat

(es) El gemido del bosque de Pripiat

(eo) La ĝemo de la arbaro ĉe Pripjat

(uk) Стогін прип'ятського лісу

(Se agradece a Leonid Valeri Fessenko, por la traducción al ucraniano)

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Es un bosque enfermo en los alrededores de la ciudad de Pripiat. Esta ciudad fantasma (abandonada) es conocida porque sufrió los efectos del peor accidente de la historia de la energía nuclear el 26 de abril de 1986, cuando se produjo el sobrecalentamiento y explosión del reactor número 4 de la Central Nuclear de Chernóbil.

Motivación:

Un documental detallado sobre el desastre nuclear de la central de energía nuclear de Chernóbil. Ver enlace: http://youtu.be/kJMPERF41P8.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla $c=-0.381966+0.618034i$ en el intervalo de los reales: [-0.052857,0.188571] y en los imaginarios: [-0.105714,0.135714].

El conjunto de Julia con semilla $c$ es el conjunto $J_c$ de todos los puntos $z$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=z$) diverge (o más pragmáticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloración de esta obra tiene un tinte variable aleatorio entre 60 y 74, una saturación aleatoria variable entre 0.41 y 0.66, y un brillo máximo aleatorio variable entre 0.32 y 0.35 para los puntos que no pertenecen al conjunto.

Archivo

La piscina de los topólogos

(es) La piscina de los topólogos

(eo) Naĝejo por topologiistoj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una curva espiral que tiende a la circunferencia.

Motivación:

Los recuerdos de un curso de topología general.

Descripción técnica:

Es la curva polar definida por $r=\frac{\theta }{\theta +1}$, con $\theta \ge 0$. Nótese que ${lim}_{\theta \to \infty }r=1$, por lo que la curva se acerca infinitesimalmente a la circunferencia unitaria, pero nunca la alcanza.

Formalmente hablando, la piscina del topólogo es el conjunto $W=A\cup S^1$, donde $A$ es el conjunto de todos los puntos de la espiral descrita y $S^1$ es el conjunto de la circunferencia unitaria. Este conjunto es un ejemplo de un espacio topológico que es conexo pero que no es conexo por caminos.

Archivos

Solamente pi

(es) Solamente pi

(eo) Nur pi

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Dibujo de muchos decimales de $\pi$ con una circunferencia, un diámetro y un radián.

Motivación:

La maravilla de $\pi$ y su omniprescencia en la naturaleza.

Descripción técnica:

En el fondo una circunferencia de longitud $L$ y un diámetro de longitud $D$ que proveen la definición de $\pi =\frac{L}{D}$.

Luego está sombreado un segmento circular de un radián de amplitud. Un radián es la medida del ángulo central en una circunferencia que abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Encima de todo están los primeros decimales de $\pi$.

Archivos

Latido mestizo

(es) Latido mestizo

(eo) Mestiza korbato

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un corazón humano latiendo al interior de un exterior mestizo.

Motivación:

El autor es mestizo.

Descripción técnica:

Una vista girada del conjunto de Mándelbrot en el que los puntos que no pertenecen al conjunto se dibujan como capas blancas y grices (según si el número de pasos requerido para determinar que no pertenecen es par o impar), mientras que para los puntos $c$ que sí pertenecen se dibujan como puntos rojos con brillo máximo y con saturación igual a la expresión $cos\left(32\right(\Re \left(c{)}^2+\Im \left(c{)}^2\right)\right)$.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

Archivos

Mandelbrotus warholensis

(lat) Mandelbrotus warholensis

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una cuadrícula de cuatro conjuntos de Mándelbrot de relativamente baja resolución con colores pop-art de la escuela de Andy Warhol.

Motivación:

El arte pop del estilo de Andy Warhol.

Descripción técnica:

Una vista de baja resolución del conjunto de Mándelbrot formada por triángulos, rombos y círculos.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

Archivos

Las curvas de Melissa

(es) Las curvas de Melissa

(eo) Kurboj de Melissa

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una curva de Lissajous delineando una figura femenina.

Motivación:

Una hermosa muchacha llamada Melissa, con una encantadora sonrisa y precioso cabello negro ondulado.

Descripción técnica:

Una versión alterada de la curva rectangular paramétrica: $\left(x,y\right)=\left(sin\left(21\cdot \theta \right),sin\left(4\cdot \theta \right)\right)$, con $0\le \theta \le 2\pi$. La amplitud de la curva en el eje horizontal se alteró con un Polinomio Interpolante de Lagrange de orden $k-1$, que tiene la forma:

$$L\left(x\right)={\sum }_{j=1}^k{y}_j{\ell }_j\left(x\right)$$

$${\ell }_j\left(x\right)={\prod }_{i=1,i\setminus =j}^k\frac{\left(x-x_i\right)}{\left(x_j-x_i\right)}$$

Archivos

Claroscuro multicolor

(es) Claroscuro multicolor

(eo) Multkolora helmalhelaĵo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una serie de cuadrados con cambio de color en el tinte en el eje X, y brillo y saturación en el eje Y.

Motivación:

Fue uno de los primeros experimentos del autor con el lenguaje CFDG.

Descripción técnica:

Cada fila y cada columna de cuadros rota 90 grados de un extremo al otro. Aunque pueda parecer lo contrario, los centros de todos los cuadrados forman una cuadrícula perfecta.

Desde arriba, los cuadros tienen un brillo constante (máximo) pero una saturación incremental. Al llegar al centro hay un cambio y los cuadros tienen una saturación constante (máxima) pero un brillo decreciente.

Archivos

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#Para generar la imagen:
#$ cfdg -b 0 -s 8000 hsb.cfdg hsb.png

startshape cuadros

#Va aumentando la saturación con un brillo constante (máximo=1) y luego va disminuyendo el brillo con una saturación constante (máximo=1), de manera consecutiva
shape cuadros{
 numCols = 20 #Número de las filas/columnas
 ang = 90 #Ángulo de giro en cada fila/columna
 minSat = 0.2 #Límite inferior de la saturación [0,1)
 minBrillo = 0.2 #Límite inferior del brillo [0,1)
 d = sqrt(2)
 loop j=(numCols/2) [y (-d)]{
  loop i=(numCols) [x d] {
   SQUARE[b 1
   r (i*ang/(numCols-1)+j*ang/(numCols-1)) 
   h (i*359/numCols) 
   sat (minSat+j*(1-minSat)/(numCols/2-1))]
  }
 }
 loop j=(numCols/2) [y (-d)]{
  loop i=(numCols) [x d] {
   SQUARE[sat 1 
   r (i*ang/(numCols-1)+j*ang/(numCols-1)+45) 
   h (i*359/numCols) 
   b (1+j*(minBrillo-1)/(numCols/2-1)) y -(d*numCols/2)]
  }
 }
}

Girasol áurea

(es) Girasol áurea

(eo) Ora sunfloro

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

El centro de una flor de girasol pero con los colores del arcoiris.

Motivación:

Una flor de girasol.

Descripción técnica:

Es una espiral polar paramétrica de la forma $\left(r\left(t\right),\theta \left(t\right)\right)$, con $\theta =\frac{2\pi }{{\phi }^2}t$, y $r=2\sqrt{t}$, con $1\le t\le 2000$ y $t\in N$. Para cada $t$ se dibujó un círculo de un color del arcoiris.

Esta espiral, dependiente tanto de $\pi$ como de $\phi$ (la proporción áurea), permite que los objetos se acumulen más cerca entre sí y con menos desperdicio de espacio.

Archivos

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#Para generar la imagen:
#$ cfdg -s 8000 girasol.cfdg girasol.png

CF::Size = [s 183 183]

startshape espiral

NUMSEGMENTOS = 2000 #Número de segmentos para formar la curva
TAM = 2
phi = (1+sqrt(5))/2
pi = 3.14159

shape espiral {
 loop i = NUMSEGMENTOS []  {
  ang = 2*pi*(i+1)/(phi*phi) #+1 para evitar el punto rojo del centro
  rad = TAM*sqrt(i+1)
  ang_grad = 180*ang/pi
  xc = rad * cos(ang_grad)
  yc = rad * sin(ang_grad)
  CIRCLE[x xc y yc hue (ang_grad) b 1 sat 1 s 3]
 }
 loop j = (NUMSEGMENTOS*10/9) []{ # Si sólo son NUMSEGMENTOS quedan huecos en las esquinas
  i = j+NUMSEGMENTOS
  ang = 2*pi*(i)/(phi*phi)
  rad = TAM*sqrt(i)
  ang_grad = 180*ang/pi
  xc = rad * cos(ang_grad)
  yc = rad * sin(ang_grad)
  CIRCLE[x xc y yc hue (ang_grad) b 1 sat 0.3 s 3 ]
 }
}

Las campanas del príncipe

(es) Las campanas del príncipe

(eo) Sonoriloj de la princo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

El resonar de las campanas del Príncipe de las Matemáticas.

Motivación:

La curva normal es fundamental en la naturaleza.

Descripción técnica:

Una gran cantidad de campanas de Gauss (curvas de distribución de probabilidad normal), con diferente amplitud, media, desviación y color. Las curvas más distantes son más oscuras y las más próximas al observador son más brillantes.

Archivo

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#Para generar la imagen:
#$ cfdg -s 8000 -v FLVQXF gauss.cfdg gauss.png

NUMSEG = 50 #Número de segmentos para formar la curva
LIMITE = 2.5 #Intervalo de dibujo: [-lim,lim]

NUMCURVAS = 750 #Número de campanas a dibujar
LIM_AMPLITUD = 4
LIM_Y = 5
LIM_X = 5
LIM_SUP_DESV = 2
LIM_INF_DESV = 0.5

MAX_BRILLO = 1.0

CF::Size = [s (2*LIM_X) (2*LIM_X) x 0 y -(LIM_Y*0.2)]
startshape principal

path campana(media, desviacion, amplitud) {

 MOVETO(media, amplitud) #mitad derecha
 loop i = NUMSEG []  {
  xc = ((LIMITE*(i+1)/(NUMSEG-1)) +media)
  LINETO(xc, amplitud*exp(-((xc-media)/desviacion)^2))
 }
 STROKE(CF::RoundCap)[]
 
 MOVETO(media, amplitud) #mitad izquierda
 loop i = NUMSEG []  {
  xc = ((-LIMITE*(i+1)/(NUMSEG-1)) +media)
  LINETO(xc, amplitud*exp(-((xc-media)/desviacion)^2))
 }
 STROKE(CF::RoundCap)[]
}

shape principal{
 FILL[]
 loop i = NUMCURVAS []{
  campana(rand(-LIM_X, LIM_X), rand(LIM_INF_DESV,LIM_SUP_DESV), rand(LIM_AMPLITUD*0.1,LIM_AMPLITUD)) [y rand(-LIM_Y,LIM_Y) 
  hue randint(360) 
  b (i*MAX_BRILLO/(NUMCURVAS-1)) 
  sat 1]
 }
 
 campana(0,1,1)[b 1 sat 0 s 2] #curva blanca en el centro
}

Homenaje al gato sin hogar

(es) Homenaje al gato sin hogar

(eo) Omaĝo al senhejmaj gekatoj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un gato sentado viendo a lo lejos en dirección del observador.

Motivación:

Hay una gran cantidad de gatos y gatas que son abandonados y/o maltratados por los humanos. En su mayoría porque no tienen los medios económicos para darles el cuido correcto y en otras ocaciones por falta de humanidad.

Si los humanos no desean lidiar con la procreación de sus mascotas, deben esterilizarlos.

Descripción técnica:

Perfil de un gato delineado con curvas cúbicas de Bézier.

Dados cuatro puntos $P_0,P_1,P_2,P_3$ (que pueden ser unidimensionales, bidimensionales, tridimensionales, etc.), llamados puntos de control, se define la curva de Bézier de la siguiente manera:

$$B\left(t\right)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2\left(1-t\right)P_2+t^3{P}_3,0⩽t⩽1$$

Las curvas de Bézier son ampliamente usadas para la modelación por computadora por su simplicidad de cálculo frente a cualquier técnica de interpolación polinomial o racional.

Archivos

Fiordos helados

(es) Fiordos helados

(eo) Malvarmaj fjordoj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una vista aérea de unos fiordos nevados, sus delgadas costas de arena oscura y el mar profundamente azul.

Motivación:

Los fiordos tienen una forma fractal natural.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla $c=-1.384286+0.004286i$ en el intervalo de los reales: [0.01,0.09] y en los imaginarios: [0.02,0.10].

El conjunto de Julia con semilla $c$ es el conjunto $J_c$ de todos los puntos $z$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=z$) diverge (o más pragmáticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloración de esta obra tiene un tinte constante al igual que la saturación, pero el brillo es variable en función del número de pasos en donde se determina que el punto pertenece o no pertenece al conjunto.

Archivos

 Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html


#Para generar la imagen:
#$ cfdg -b 0 -s 1000 fiordos.cfdg fiordos.png

startshape fiordos(-1.384286,0.004286)

LIMITE = 1000 #Resolución de la imagen
MAXPASOS = 300

LIMIZQ = 0.01
LIMDER = 0.09
LIMARRIBA = 0.10
LIMABAJO = 0.02

TAMX = (LIMDER-LIMIZQ)/(LIMITE-1)
TAMY = (LIMARRIBA-LIMABAJO)/(LIMITE-1)


pasos(numPasos,z_r,z_i,c_r,c_i) = 
 if((numPasos < MAXPASOS) && (z_r*z_r+z_i*z_i<4),
  pasos(numPasos+1, z_r*z_r - z_i*z_i + c_r, 2*z_r*z_i + c_i, c_r, c_i),
  numPasos)

shape fiordos(c_r,c_i) {
 #Océano:
 FILL[h 214 sat 0.89 b 0.95]
 loop i = (LIMITE) []  {
  z_i = (LIMARRIBA-LIMABAJO)*i/(LIMITE-1) + LIMABAJO #y
  loop j = LIMITE [] {
   z_r = (LIMDER-LIMIZQ)*j/(LIMITE-1) + LIMIZQ #x
   
   numPasos = pasos(0, z_r, z_i, c_r, c_i)
   if(numPasos<MAXPASOS){
    SQUARE[x z_r 
      y z_i
      size TAMX TAMY 
      h 30 sat 0 
      b (1+(1-numPasos)/(MAXPASOS-1))]
   }
  }
 }
}

Perfección

(es) Perfección

(eo) Senerareco

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una circunferencia perfecta.

Motivación:

Una circunferencia puede considerarse como la figura geométrica más perfecta.

Descripción técnica:

Es una circunferencia dibujada con el algoritmo de línea de Bresenham.

Algoritmo básico para dibujar una circunferencia de un pixel de grueso (en lenguaje C):

// Función auxiliar
void marcarPixelesCicunferencia(int x, int y, int xc, int yc){
    marcarPixel( x+xc, y+yc);
    marcarPixel( x+xc,-y+yc);
    marcarPixel(-x+xc, y+yc);
    marcarPixel(-x+xc,-y+yc);
    marcarPixel( y+xc, x+yc);
    marcarPixel( y+xc,-x+yc);
    marcarPixel(-y+xc, x+yc);
    marcarPixel(-y+xc,-x+yc);
}
void circunferencia_punto_medio(int xc, int yc, int radio){
    int x,y,d;
    x=0;
    y=radio;
    d=1-radio;
    marcarPixelesCicunferencia(x,y, xc,yc);
    while(y>x){
        if(d<0){
            d += x * 2 + 3;
        }else{
            d += (x - y) * 2 + 5;
            y--;
        }
        x++;
        marcarPixelesCicunferencia(x,y, xc,yc);
    }
}

Archivos

El arco del triunfo de Cantor

(es) El arco del triunfo de Cantor

(eo) Triumfarko de Cantor

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una ilustración del conjunto de Cantor en forma de Arco de Triunfo.

Motivación:

Los grandes logros intelectuales de Georg Cantor.

Descripción técnica:

La forma geométrica de describir el conjunto de Cantor es la siguiente:

1. Se toma un segmento de longitud 1. Se puede considerar como el intervalo [0,1].
2. A este segmento se le quita el tercio medio del segmento. Se puede considerar que al intervalo [0,1] se le resta el intervalo abierto $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$, con lo que queda el intervalo $\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},1\right]$.
3. A cada uno de los dos segmentos disjuntos restantes se les resta el intervalo abierto equivalente a su tercio interior. En este momento quedan cuatro intervalos cerrados disjuntos.
4. A cada uno de los intervalos se les resta el intervalo abierto equivalente a su tercio interior. Y este paso se repite hasta el infinito.
5. La unión de todos los segmentos o intervalos cerrados resultante es el conjunto de Cantor.

Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos, ya que es un conjunto de medida nula (es decir que la suma de todos los segmentes resultantes es cero), pero no es vacío ni numerable, es decir, que además es infinito.


Archivos

Código (CFDG):

# Copyright 2015 Eduardo Adam Navas López
# Este archivo es Software Libre liberado bajo la licencia GNU GPLv3 o su versión más reciente:
# http://www.gnu.org/licenses/gpl.html


#Para generar la imagen:
#$ cfdg -s 8000 -b 0 -x 5 cantor.cfdg cantor.png

startshape principal

shape principal{
 loop i=4 []{
  SQUARE[s 12 0.9 y (i+1)]
 }
 cantor[]
 CIRCLE[b 1 s 4 z 2 y (-1/2)]
}

shape cantor {
 SQUARE[s 12 0.95]
 cantor[y -1 x (-12/3) s (1/3) (0.9)]
 cantor[y -1 x  (12/3) s (1/3) (0.9)]
}