Torbellinos de pasión

(es) Torbellinos de pasión

(eo) Pasiokirloj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Dos torbellinos entrelazados girando en la misma dirección.

Motivación:

Una lectura parcial del libro Indra's Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y la búsqueda de comprender las espirales loxodrómicas y los loxódromos en sí (ver Líneas de rumbo).

Descripción técnica:

La imagen es una serie de proyecciones de líneas de rumbo (loxódromos) que se construyen en la esfera de Riemann girada sobre su centro, sobre el plano, por medio de una proyección estereográfica.

El proceso de construcción es el siguiente:

Las líneas de rumbo se inician como espirales exponenciales complejas, de la forma: $T_n\left(z\right)=a^{n}z$, donde $n\in Z$ y $a,z\in C$. Para que las espirales formen una familia como en la imagen, deben tener el mismo valor de $a$. En este caso $a={\displaystyle \frac{4}{5}\left(cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2}\right)}$.

Para que estas espirales se conviertan en dobles espirales, se les aplica la siguiente transformación de Möbius

${\hat{T}}_n\left(z\right)=R\circ T_n\circ R^{-1}\left(z\right)$, con $R\left(z\right)=\frac{z-1}{z+1}$

a los números complejos $z$ de la forma $cos\alpha +isin\alpha$, con $\alpha \in \left[\frac{\pi }{4}-0.3,\frac{\pi }{4}+0.3\right]$, y $n\in \{-20,-19,-18,\dots ,29,30\}$.

Nótese que $R\left(0\right)=-1$, $R\left(\infty \right)=1$. Es decir, lo que hace $R$ es tomar un punto del plano complejo, lo proyecta en la esfera de Riemann, luego rota la esfera respecto de su centro (con eje de giro paralelo al eje complejo) y finalmente lo proyecta sobre el plano compleo de nuevo.

Para los colores, se utilizó una técnica de interpolación lineal segmentada pasando por los colores primarios sustractivos (amarillo, cyan y magenta) asociándolos al paso de $\alpha$.

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Planeta fractal

(es) Planeta fractal

(eo) Fraktalplanedo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un mundo fractal.

Motivación:

Una revisión de las diferentes variantes conocidas de fractales de la familia Mándelbrot.

Descripción técnica:

Una vista de alta resolución de un conjunto fractal similar al de Mándelbrot, pero con ecuación recursiva $z_{n+1}=exp\left(\frac{z_n^2-1,00001z_n}{c^3}\right)$.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

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El jardinero de Neruda

(es) El jardinero de Neruda

(eo) La ĝardenisto de NERUDA

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un jardín de plantas fractales rodeando un gran árbol cuadrado que representa una Ceiba.

Motivación:

El recuerdo de un capítulo nunca hecho del libro de Graficación por Computadora del autor... Sería un capítulo sobre fractales biológicos.

Descripción técnica:

Se han utilizado cuatro algoritmos recursivos determinísticos que dibujan “ramas que tienen ramas”. Uno de los algoritmos divide sus ramas en dos ramas, otro divide sus ramas en tres ramas, otro en cuatro y el último en cinco.

Cada árbol depende además de una posición, ángulos de las ramas divididas, tamaño, proporciones entre las ramas y sus ramas hijas, la cantidad de subdivisiones (niveles), posiciones relativas de los brotes de las ramas hijas y el color.

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Anillo de Fuego

(es) Anillo de fuego

(eo) Fajroringo

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Un anillo de fuego que emana calor.

Motivación:

Una lectura parcial del libro Indra's Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y curiosidad sobre las transformaciones de Möbius.

Descripción técnica:

La imagen es una coloración particular de la traza del grupo $\theta$-Schottky con $\theta =\frac{\pi }{4}$ enfatizando su conjunto límite en amarillo intenso.

Los cuatro círculos grandes son los círculos generadores (discos de Schottky). Luego se dibujan las imágenes de cada tres de ellos al interior del cuarto (dadas unas transformaciones de Möbius). Este proceso se repite una y otra vez hasta el infinito. Todos estos círculos se conocen como el grupo de Schottky. Al conjunto de puntos resultantes del proceso (una especie de polvo) se le conoce como El Conjunto Límite del grupo. El conjunto límite del grupo dibujado es exactamente una circunferencia.

El intervalo dibujado es $\left[-1.3,-1.3\right]\times \left[1.3,1.3\right]$.

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Las cuatro nobles verdades

(es) Las cuatro nobles verdades

(eo) La kvar noblaj veraĵoj

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.34092.90243

Descripción artística:

Una vista de Buda sentado en posición de loto.

Motivación:

Un documental sobre las maravillas del mundo budista.

Las cuatro nobles verdades son:

1. Toda existencia es sufrimiento: Nacer es sufrir, enfermar es sufrir, envejecer es sufrir, morir es sufrir, amar es sufrir, perder al ser amado es sufrir, etc. Todo conlleva sufrimiento, la existencia y sus partes son sufrimiento.
2. La causa del sufrimiento es el apego, el deseo.
3. El apego y el deseo pueden suprimirse extinguiendo su causa.
4. El apego y el deseo pueden extinguirse por medio del noble camino óctuple:
   1. Comprensión correcta
   2. Pensamiento correcto
   3. Palabra correcta
   4. Acción correcta
   5. Ocupación correcta
   6. Esfuerzo correcto
   7. Atención correcta
   8. Concentración correcta

Descripción técnica:

Una vista de alta resolución de un conjunto basado en el de Mándelbrot, conocido como Búdabrot, dibujado con la traza de los puntos de las sucesiones requeridas para determinar la pertenencia de puntos aleatorios $c$ en el conjunto de Mándelbrot. Es decir, se toman puntos complejos $c$ aleatorios. Luego se determina su pertenencia al conjunto de Mándelbrot de la manera estándar:

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto $M$ de todos los puntos $c$ del plano complejo tal que la sucesión $z_{n+1}=z_n^2+c$ (con $z_0=0+0i$) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si $z_k$, con $k\le N$, tiene un módulo mayor que 2, es decir $\left|z_k\right|⩾2$ (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot). Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: $N$. Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al $N$-ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La imagen está dividida en cuatro partes. Las de los “cuadrantes” I y III fue construida haciendo $N=200$ iterando $1,54\times 10^{10}$ puntos aleatorios $c$ del plano complejo. Las de los “cuadrantes” II y IV fue construida haciendo $N=2000$ iterando $3,1\times 10^9$ puntos aleatorios $c$ del plano complejo. En todos los casos $c\in \left[-1.5,0.5\right]\times \left[-1i,1i\right]$.

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